複素関数

主張

証明

1. とおくと、

   となる。よって1が成り立つ。

2. とおくと、

   となる。よって2が成り立つ。

3. 2の結果を用いれば3も同様に示される。

主張

, に対して、

が成り立つ。

証明

数学的帰納法で示す。
のとき明らか。 のとき成り立つと仮定する。このとき、

となる。よって任意の について成り立つ。

主張

非負実数 による級数 が収束し、かつ

が成り立つとき、級数 は絶対収束する。

証明

級数 の部分和を とおく。このとき、 は非負実数なので部分和 は単調増加数列となり、収束先を とおくと、

である。 は非負整数なので、部分和 は単調増加数列であり、上に有界である。よって部分和 は収束し、級数 は絶対収束する。

主張

複素数列 に対して、ある が存在して

が収束するとき、べき級数

は 上で絶対収束する。

証明

仮定より、ある が存在して

が収束する。ここで、 を を満たす複素数とする。このとき、 とおけば である。したがって、任意の について

が成り立つ。 が収束するとき、実数の比較判定法より、 は収束し、べき級数

は領域 上で絶対収束する。

主張

べき級数

の収束半径 は以下の式で与えられる。

ただし、 とする。

証明

まず、 とおく。

1. のときを考える。このとき は でない。すると、ある が存在し,
   である。また であるから、 となる は有限個しかないため、任意の に対し、十分大きい が存在し
   が成り立つ。これらを用いれば、
   となる。さて、 は無限等比数列の和であり、 であるから収束する。したがって、それに高々有限個の項を加えた
   も収束する。よって比較判定法より、べき級数 は のとき絶対収束する。
2. のときを考える。このとき、 は でない。 の場合をまず考える。このとき、全ての を考えることになる。すると、
   となる は 、つまりは によらず常に無限個存在する。 このとき、
   となるため、べき級数 はどんな についても各点収束しない。次に の場合を考える。このとき、ある が存在し、
   が成り立つ。また、 であるから、任意の に対し、
   となる は無限個存在する。これらを用いれば
   となる が無限個存在する。したがって、
   となる。右辺は無限等比数列の和であり、 であるから発散する。よってべき級数 は各点収束しない。

以上より、収束半径 は で与えられることが示された。

主張

べき級数

に対し、

が存在するなら収束半径 は に等しくなる。

証明

定義された を用いて証明を行う。

1. のときを考える。このとき、ある が存在し である。極限の定義より、十分大きい で
   が成り立つ。これを用いれば、任意の について
   となる。これを繰り返し用いると, を とおけば に対して
   となる。ここで、 の定義から であるため、右辺の無限等比数列の和は収束する。したがって、比較判定法より、べき級数 は のとき絶対収束する。
2. のときを考える。このとき、ある が存在し である。極限の定義より、十分大きい で
   が成り立つ。これを用いれば、任意の について
   となる。これを繰り返し用いると, を とおけば に対して
   となる。ここで、 の定義から であるため、右辺の無限等比数列の和は発散する。したがって、べき級数 は のとき各点収束しない。