複素積分
複素積分の定義
曲線 を というパラメータを用いて表された方向付きの曲線とする。複素関数 に対して， に沿った の積分は
で定義される。ここで、 と表されるとき、
である。
と表されるとき，複素積分は次のように表すことができる。
また、経路についても以下の表記が可能であり、それぞれ以下の性質を持つ
-
が曲線
と
の連結であるとき，
と表す。このとき，
-
の向きを逆にした曲線を
と表す。このとき，
また、積分に関する基本的な性質として線形性がある。
さらに、積分経路が閉じている、つまり始点と終点が一致している場合、積分記号を という記号を用いて強調して表すことがある。
主張
経路 の長さを とするとき,
証明
主張
を中心 ，半径 の円周を反時計回りに一周する経路とする。このとき,
証明
を と表す。このとき，
である。したがって，
- のとき、計算する積分は
- のとき、計算する積分は なので
コーシーの定理
まず、連結とはある領域 内の任意の単純閉曲線が 内である1点に収束できることを言う。 例えば、ドーナツ型や領域内に1点の穴がある領域は連結ではない。他にも、領域が2つに分かれている場合なども連結ではない。
次に以下のグリーンの定理を準備する。
主張
を 平面上の単純閉曲線 で囲まれた領域とする。 ， を 上で連続的に偏微分可能な関数とすると，
証明
略
これを用いればコーシーの定理を示すことができる。
主張
を複素平面上の連結な領域とする。 を 上で正則な関数とする。このとき， 内の任意の単純閉曲線 に対して，
である。
証明
内の領域を とする。 と表されるとき,グリーンの定理とコーシー・リーマンの方程式より，
このコーシーの定理からいくつかの重要な結果が導かれる。
主張
を複素平面上の連結な領域とする。 を 上で正則な関数とする。このとき， 内の任意の曲線 , が同じ始点と終点を持つならば，
証明
と の始点と終点をそれぞれ , とする。このとき, から に向かい、 , と連結しても閉曲線を作ることができる新たな曲線 を考える。このとき、コーシーの定理より、
である。したがって、
である。
主張
を単純閉曲線， を の内部にある単純閉曲線とする。ただし、2つは同じ方向をもつ。 が と で囲まれた円環領域 を含む 上で正則であるとき,
が成り立つ。
証明
上にある一点 と 上にある一点 を決める。 を始点， を終点とする曲線 を 内で引く。このとき， から を一周し, を通って に至り， を逆向きに一周して に戻り，最後に を逆向きにたどって に戻る経路 を考える。これは 内の単純閉曲線なので、
である。したがって，
である。
主張
を単純閉曲線とし、その内部を とする。 内に単純閉曲線 があり、それぞれの曲線が互いに共有点を持たないとする。各曲線 の内部を とし、 とする。 が 上で正則であるとき、
なお、各曲線 の向きは と同じ向きであるとする。
証明
各曲線 上にある点 を選び， 上にある点 を選ぶ。各 について， から に至る曲線 を 内で引く。このとき のある点を始点とし、順方向に移動し、 を通ったときに を通って に至り、 を逆向きに一周して に戻り、最後に を逆向きにたどって再び を順方向に辿り始める経路 を考える。すると、
である。 は 内の単純閉曲線なので、コーシーの定理より、
である。したがって、
である。よって、主張が示された。
コーシーの積分公式
主張
上で正則な関数 を考える。 を 内の点 を囲む単純閉曲線とする。このとき、
が成り立つ。
証明
まず,示したい等式の右辺について被積分関数は 以外の 内で正則であるので経路 は を囲んでいれば積分値は経路に依らない。そこで、 を中心 ，半径 の円周としても一般性を失わない。このとき、
であるので、
である。するとこれは
である。はさみうちの原理より
が成り立つことがわかったが、 は によらないことをはじめに述べたので について定数であり、したがって である。
が示された。
コーシーの積分公式に関していくつかの定理がある。
主張
上で正則な関数 を考える。 を 内の点 を囲む単純閉曲線とする。このとき、任意の について
も成り立つ。
証明
数学的帰納法を用いて示す。まず、 のときを考える。コーシーの積分公式より、十分小さい に対して、
である。したがって、
となる。 はコンパクトなので のとき、積分と極限を交換できる。両辺極限を取ると
が得られる。次に、 のとき成り立つと仮定する。
このとき、
となる。再び積分と極限を交換すると、被積分関数の極限は
である。したがって、先ほどの式の両辺に極限を取ると
が得られる。よって、数学的帰納法により任意の自然数 について主張が成り立つことが示された。
主張
上で正則な関数 は任意の自然数 について 階微分可能であり，その 階微分 も 上で正則である。
証明
グルサの定理より正則な の 階微分係数の表現が得られており、その表現はいずれの点においても値を持っている。つまり、 は任意の自然数 について 階微分可能であることがわかる。 の表現が得られているので, も正則であることがわかる。
これは一回微分できれば何回でも微分できることを意味している。
主張
上で正則な関数 を考える。 を中心とし、十分小さい に対して,中心 ，半径 の円周 が 内に含まれるとき、
が成り立つ。
証明
コーシーの積分公式より、 を中心 ，半径 の円周を反時計回りに移動する経路とすると、
である。
ある関数 が点 で局所最大であるとは,ある が存在して,
であることを言う。
主張
関数 が領域 上で正則であるとする。もし が 内の点 で局所最大であるならば， はその 近傍で定数関数である。
証明
十分小さい をとり， を中心 ，半径 の円周とする。この円周内で は正則であり, であるとする。平均値の性質より、
である。したがって、不等号がすべて等号になる。特に、
である。これは， に対して
が成り立つことを意味する。よって、 は円周 上で定数関数である。 を十分小さく取ったので，任意の点 の近傍において は定数関数である。
コーシーの積分公式の逆も成り立つ。
主張
領域 上で連続な関数 が，任意の閉曲線 に対して
を満たすとする。このとき， は 上で正則である。
証明
内である曲線 を考える。 と同じ始点と終点を持つ別の曲線 に関して, は閉曲線であるので，
である。したがって、
である。つまり， の積分は経路に依らない。ここで から にいく経路 について
と定める。これは の定め方によらず、 と にのみ依存することは先ほど示した内容から明らかである。さらに、任意の に対して、 が存在して、円盤 である。このとき、 になるような に対して、
である。ここで、 を直線 から に向かう線分としても一般性を失わないので、線分上の点 に対して と表せるので、
である。 のとき，積分と極限を交換できるので，
である。したがって， は 上の任意の点 で微分可能であり，その導関数は に等しい。 が正則ならば，その導関数 も正則であることから，主張が示された。
主張
を 全体で定義された正則な関数（これを整関数という）とする。 が有界であるならば， は定数関数である。
証明
が有界であるとは，ある が存在して，
であることを言う。任意の についてグルサの定理より，
である。ここで を中心 ，半径 の円周とする。このとき，
である。 は に依らないので， である。したがって， は定数関数である。
解析関数
を領域 上で定義された関数とする。任意の点 に対して，ある が存在して，開円盤 でテイラー展開
が成り立つとき， は解析的であるといい を解析関数という。テイラー展開は広く言えばべき級数展開であり、べき級数に関する議論が成立する。
主張
領域 上で正則な関数 は解析的である。
証明
点 を任意にとる。開円盤 であるような をとる。 の境界を反時計回りに一周する経路を とし、 なる をとる。このとき、コーシーの積分公式より
である。ここで,
である。なぜならば右辺を初項が で公比 の等比数列とみなして和を求めると左辺になるからである。したがって，
である。これを先ほどの式に代入すると， はコンパクトより項別積分が可能であることから，
である。最後の等式はグルサの定理による。したがって， は点 の近傍でテイラー展開を持ち、テイラー展開は少なくとも の収束半径を持つ。 は任意にとったので， は解析的である。
主張
べき級数展開 の収束半径が であるとき
の収束半径も である。
証明
の収束半径が であるとは，
であることを言う。したがって、 のべき級数展開の係数 に対して
である。ここで、任意の に対して
である。任意の に対して、十分大きな が存在し、
である。 極限を取れば、 より
である。つまり、
である。よって， の収束半径も である。
主張
を連結な領域 上で正則な関数とする。 であり、 に収束し、 を常に満たすような相異なる点列 が存在するとき， で である。ここで、相異なる点列とは, ならば であることを言う。
証明
は正則なので， 上で解析的であり 中心のテイラー展開は
である。 なので，この展開の定数項 は である。ここで、以下の極限を考えてみると
であるが、そもそも であるので、この極限は に等しい。したがって， である。同様にして，任意の自然数 について は であり に等しいことが完全帰納法により示される。したがって，すべての であり， は零関数である。
主張
を連結な領域 上で正則な関数とする。ある点 に収束し，かつ を常に満たすような相異なる点列 が存在するとき，任意の について
である。
証明
とおく。すると， は 上で正則であり， である。さらに，点列 は を常に満たす点列。したがって，前の定理より，任意の について である。つまり，任意の について である。
前に示した内容よりさらに強い定理が成り立つ。
主張
関数 が領域 上で正則であるとする。もし が 内の点 で局所最大であるならば， はその 近傍で定数関数である。
証明
は正則なので解析的であり、
と表せる。 の近傍の半径を とすると近傍は である。 が点 で局所最大であるので，十分小さい に対して、次のような を考えたい。すると
である。ここで について ならば
であり， ならば
である。したがって，
である。テイラー展開において であるので，
である。したがって，不等号がすべて等号になる。特に，
つまり、 でのテイラー展開は常に である。よって， は点 の近傍で定数関数である。
主張
を領域 上で正則な関数とする。次の対になっている条件はそれぞれ同値である。
- 極
- 点 が の 位の極である。