ローラン展開

主張

を を中心とする半径 の円周とし、 とする。 を と の円環領域 上で正則な関数とする。このとき、 は についてローラン展開可能であり、ローラン展開を

と書くと、係数 は 内で反時計回りの単純閉曲線 について

で与えられる。

証明

からそれぞれ1点ずつ 取り、 から を辿る経路を とする。このとき, から反時計回りに進み、 を一周し、 を辿って に行き、時計回りに を一周し、再び を辿って に戻る経路 は を囲み反時計回りである。したがって、コーシーの積分公式より について

ここで、 であるので,

と書ける。ここで、 について考えると

である。この関数は各点収束するので、積分と和の順序を入れ替えられる。したがって、

となる。同様に についても

であり、同様に積分と和の順序を入れ替えると

となる。これらを の式に代入すると

ここで、 は のとき , のとき である。したがって、ローラン展開の係数 は

で与えられる。特に、 は が正則である領域内の閉曲線であればどれでもよいので、 内で反時計回りの単純閉曲線 を取れば

が成り立つ。

主張

を 上で定義された正則な関数とする。ただし、 は孤立特異点である。このとき、以下の条件の対はそれぞれ同値である。

1. 可除特異点
   • が可除特異点
2. 極
   • が 位の極
3. 真性特異点
   • が真性特異点

証明

1. が可除特異点であるとする。このとき、 でも正則に拡張できる。正則なら連続であるので、
   が存在する。逆に、 が存在するとする。このとき、 のローラン展開
   において、項ごとの極限を考えると
   である。 が有限値であるためには である は存在してはならない。したがって、 であり、主部は存在しない。よって、 は可除特異点である。
2. が 位の極であるとする。このとき、
   である。なお、 である。したがって、
   が存在する。逆に、 が存在するとする。このとき、ローラン展開において
   の項ごとの極限を考えると
   である。 が有限値であり でないためには である は存在してはならない。加えて、 である。したがって、主部は有限項であり、 は 位の極である。
3. が真性特異点であるとする。このとき、主部が無限項であるので、任意の正整数 に対して
   の項ごとの極限を考えると
   である。主部が無限項であるので、ある で であるものが存在し、極限は発散する。逆に、任意の正整数 に対して が発散するとする。このとき、ローラン展開において
   の項ごとの極限を考えると
   である。極限が発散するためには、ある で であるものが存在しなければならない。これは任意の正整数 について成り立つので、主部は無限項であり、 は真性特異点である。

主張

を 上で定義された正則な関数とする。ただし、 は孤立特異点である。このとき、留数は以下の式で与えられる。

ただし、 は を囲む反時計回りの単純閉曲線である。

証明

の におけるローラン展開を

と書くとき、ローラン展開の係数は定理より

である。特に のとき、

である。したがって示された。

主張

を 上で定義された正則な関数とする。このとき、

1. が 位の極である場合、留数は
   で与えられる。
2. が除去可能な特異点である場合、留数は である。

証明

1. が 位の極であるとする。このとき、
   と書ける。したがって、
   である。これは、 テイラー展開であり、テイラー展開の係数は
   で与えられる。特に のとき、
   である。したがって、留数は
   で与えられる。
2. が可除特異点であるとする。このとき、主部が存在しないので である。したがって、留数は である。

主張

を単連結領域とし、 を 内の有限個の点とする。 を 上で定義された正則な関数とする。このとき、 を 内で各点 を囲む反時計回りの単純閉曲線とすると、